Разбор 2 тура Всесибирской олимпиады
Описание
Решаем задачки:
1. На окружности расставлены 4 числа, сумма которых равна 0. Для каждой пары соседних чисел нашли их произведение и полученные четыре числа просуммировали. Может ли эта сумма быть положительной?
2. Пусть n - натуральное число, не заканчивающееся на 0, и R(n) - четырехзначное число полученное из n изменением порядка цифр на обратный порядок. Найти все натуральные четырехзначные n для которых R(n)=4n+3
3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А провели касательную к первой окружности, пересекающую вторую в точке С. Через точку В провели касательную ко второй окружности. Найти угол между прямыми AD и BC.
4. Последовательности чисел задана формулой a_{n}=(n+1)/(n-1)(a_1+a_2+...+a_n). Найти формулу общего члена последовательности, то есть формулу, явно выражающую a_n через n при произвольном n.
5. Пусть M - некоторое множество пар натуральных чисел (i; j), 1 больше или равно i больше или равно j больше или равно n для фиксированного n больше или равного 2. При этом, если пара (i;j) принадлежит данному множеству, то пара (j;k) ему не принадлежит. Какое наибольшее множество пар может быть в M?
Комментарии