0:00 Вступление
1:29 Задача 1
3:26 Задача 2
4:28 Задача 3
7:08 Задача 4
10:02 Задача 5
13:31 Задача 6
16:52 Задача 7
17:44 Задача 8
19:12 Задача 9
21:37 Задача 10
23:55 Задача 11
25:19 Задача 12

Задача 1. На столе сидела кошка, а под ней по полу ползала черепаха. Расстояние от ушек кошки до верха панциря черепахи равно 170 см. Алёна поменяла местами своих питомцев. Теперь расстояние от ушек кошки до верха панциря черепахи стало равно 130 см. Чему равна высота стола?

Задача 2. Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты — ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

Задача 3. Квадрат 3 × 3 заполнен цифрами так, как показано на рисунке. Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю (по стороне), но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды. Петя прошёл по некоторому пути и выписал по порядку все цифры, встретившиеся ему, — получилось число 84937561. А какое максимальное число мог получить Петя?

Задача 4. В круговом шахматном турнире участвовало 8 человек, и все они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, за победу в шахматах начисляется 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как могли сыграть между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

Задача 5. Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Задача 6. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы её углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N. Найдите длину отрезка MN, если AB = 5, BC = 7, CD = 8, AD = 12.

Задача 7. От города A до города B расстояние 40 км. Два велосипедиста выехали из A и B навстречу друг другу, один со скоростью 10 км/ч, а другой — 15 км/ч. Муха вылетела с первым из A со скоростью 100 км/ч, долетела до второго, села ему на лоб и полетела обратно к первому, села ему на лоб, вернулась ко второму и так далее, пока они не столкнулись лбами и не раздавили ими муху. Сколько километров пролетела муха?

Задача 8. В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Оказалось, что произведение чисел увеличилось на 72. Найдите какую-нибудь такую тройку чисел.

Задача 9. Даны 8 гирек весом 1, 2, …, 8 грамм, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит вес каждой гирьки. В доказательство своей правоты он готов провести одно взвешивание на двухчашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь. Помогите Барону провести такое взвешивание. Никаких других гирь у него нет, на чаши можно класть любое количество гирь.

Задача 10. Из 20 одинаковых квадратов сложили прямоугольник 4 × 5. Из левого верхнего угла прямоугольника в его правый нижний угол проведена диагональ. Она отсекает треугольники от некоторых квадратов. Периметр красного треугольника равен 1. Найдите суммарный периметр синих треугольников.

Задача 11. На доске 5 × 5 отмечены центры всех 25 клеток. Доску разбивают на части прямолинейными разрезами, не проходящими через отмеченные точки, так, чтобы в каждой из них было не более одного центра клетки. Какого наименьшего числа разрезов для этого хватит?

Задача 12. В некоторых клетках квадрата 10 × 10 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. Во всех клетках на границе квадрата стрелочки стоят и смотрят вдоль границы в одном направлении, как на рисунке. Кроме того, стрелочки в соседних (в том числе по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. В каком наибольшем числе клеток могут стоять стрелочки?